В 1972 г. окончил Ленинградскую консерваторию в классе профессора К. Н. Никончука. В этом же году начал работать в Ленинградском камерном оркестре старинной и современной музыки под управлением Н. С. Рабиновича. В 1974 г. перешел в оркестр Ленинградского государственного академического Малого театра оперы и балета им. Мусоргского (Михайловский театр).
С 1991 г., с момента основания коллектива, работал в Симфоническом оркестре Капеллы Санкт-Петербурга. Через год вернулся в оркестр Малого оперного театра. С 2007 г. и по сей день Александр Косоян — артист Симфонического оркестра Капеллы Санкт-Петербурга.
Неоднократно выступал и гастролировал с ЗКР Академическим симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, Симфоническим оркестром Мариинского театра. В составе Симфонического оркестра Капеллы гастролировал в Германии, Швейцарии, Франции, Греции, Голландии, Бельгии, Испании, Финляндии и многих других странах.
